【CSAPP】2.2整数表示

整数表示

用位来编码数字，分为两种：无符号的和有符号的。

无符号的只能表示非负数，而有符号的能表示正数、零和负数。

下面介绍一下计算机中，整数是怎么表示的。

C中整数数据类型

我对C的整数类型不太了解，因为之前都是写Java，知道它有八大基本数据类型。

一般的使用，倒是没什么大问题，但是c中有一个无符号的类型，即unsigned，它是用无符号的位编码而成。

比如32位的unsigned int，它的范围是[0, 4294967295]，因为不再需要最高位的符号位了，用它表示正数则是2^31，故范围比有符号int多。

而且，这也可以看成一种平移，我们通常看的4字节int是[-2147483548, 2147483547]，相当于把负的往右移。

另外，它还有一个特殊的数据，就是long，在32位机子中，它是占4字节，但是在64位机子中，它是占8字节。

无符号数编码

和我们常见的二进制数一样，就是没有符号位的，全是计数位。

注：下面式子中，w表示位数。

以0、1取值，然后对值为1的下标的数进行2^i的加权，其实就是二进制转十进制那个嘛。

公式： $B2U(x)=\sum_^x_i2i$

那么它的最大值是多少呢？那就是全1了，即$UMax_w=\sum_²i=2^w-1$。

而且，对于二进制位是全1的，等价于最高位再加一位为1，然后再减1，其实就是2^n-1。

补码编码

常见的有符号数，在计算机中都是以补码的形式出现。

在这个定义中，它的最高位的权重是负数，别的同无符号数，为正数。

公式： $B2T(x)=-x_2^+\sum_x_i2^i$

举个例子，$B2T([1111])=-2^3*1+221+2^11+2^0*1=-1$

原来困扰我多时的补码就这，当时还想着什么取反加一，我的天，就是首位权重为负，其它不变！

那么它的最小值是多少呢？因为只有最高位权重为负，所以当最高位为负时，值最小，

最大值则是除最高位以外的所有位都为1。

因此，最小值的向量为[10...0]即：$TMIN_w=-2^$

最大值的向量为[01...1]，即$TMAX_w=2^-1$

一些性质

补码的范围是不对称的，负数能多表达一位，

即$|TMIN|=|TMAX|+1$
最大无符号位表示的数正好是最大补码的两倍加一
即$UMAX=2*TMAX+1$
从位向量来说，UMAX=[11...1]，TMAX=[01...1]，刚好是TMAX左移一位，后面补个1

原码和反码

在一开始学这些的时候，就是从原码反码开始搞，弄得真是不明不白。

原码是什么，最高有效位是符号位，其它的位正常加权求和，根据符号位确定最后结果的正负。

反码，和补码类似，就是补码-1，因为它的最高有效位的权重比补码多1。而且它还有+0和-0。

这块似乎真的不大重要，因为在这本书中，只有旁注提及这部分内容，而我之前的重点都在如何计算这些原码反码补码上了。

qwq

有符号数与无符号数的转换

对于一些数的转换，我总会想，比如一个负的有符号数转换为无符号数，会不会变成0（因为无符号数能表示最小的数就是0），或者一个很大的无符号数转换为有符号数，会不会变为UMAX？

其实在计算机中，它不会考虑数，而且考虑位。它原来是什么位，转换之后就是什么位，只是各个位的权重不同了，它表现出来的结果也就不同了。

下面这段代码是把有符号数转换为无符号数，可以看看结果是多少?

void test2()
{
    short int v = -12345;
    unsigned short uv = (unsigned short)v;
    // v = -12345, uv = 53191
    printf("v = %d, uv = %u", v, uv);
}

为什么会这样呢？

我们可以看看v的位向量：[1100 1111 1100 0111]

对于无符号数，它第一位权重是负的2^15，然后把它相加起来，即可算出-12345。

但是转换成有符号数之后，它的所有位权重都是正的，值为2^i，可以算得结果是53191。

再看看把无符号数转有符号数，也一样的

void test3()
{
    // UMax
    unsigned u = 4294967295u;
    int tu = (int)u;
    // u = 4294967295, tu = -1
    printf("u = %u, tu = %d", u, tu);
}

u的位向量是[11...1]，因为它是UMax嘛，这是无符号的，所有权重都是正数。

但是转成有符号之后，首位就是负了，后面的全部抵消，就成了-1。（怎么理解全部抵消了？因为后面全是1，而且，正数部分+1=负数的值）。

小结论

从上面的代码中，可以得到一个小结论：数值可能改变，但是位模式不会变

同时，书本上写了好多从代数上进行证明的式子，非常精妙，我觉得我缺少这种数学的语言。但是我暂时不将它记录在这里，而是多模拟，手写几遍。

当一个有符号数映射为它对应的无符号数时，负数被转换成了更大的正数，非负数不变。（即把最高位的$-2^$加回来！）

当一个无符号数映射为它对应的有符号数时，若其$\leq TMAX$，不变；若其$\gt TMAX$，转换为负数。（即把最高位的$2^$减回去！这个无符号数“太大”了，用了最高位）

C语言中的有符号数和无符号数

一般情况下，声明的变量都是有符号有，只有在末尾添加U或u才是无符号。并且还有unsigned关键字。

并且，一般都是使用补码，而且转换的原则是底层的位保持不变。

在标准输出printf的情况下，%d表示输出十进制数，%u表示输出无符号的十进制数，%x表示输出十六进制数。

在C的运算中，会隐式把有符号参数强制类型转换为无符号参数，并假设这两个数都是非负的，然后执行运算。

对于一般的算术运算是没什么问题的，但是对于>或<这种关系运算符来说，就可能有不太直观的结果。

（在草稿纸上写写吧！先看类型，如果类型相同，直接比较；类型不同，转换后，按照类型的值进行判断。注意一下带 *的地方）

void check()
{
    printf("%d\n", -2147483647 - 1 == 2147483648U);
    printf("%d\n", -2147483647 - 1 < 2147483647);
    printf("%d\n", -2147483647 - 1U < 2147483647);
    printf("%d\n", -2147483647 - 1 < -2147483647);
    printf("%d\n", -2147483647 - 1U < -2147483647);
}

1

1

0

1

1

(PS：今天看了一天了，终于搞懂了，还是得多动手，不能懒，汗。。。)

扩展与截断

文章中有很多数学性证明，但我似乎不太懂= =。

对于无符号的整数，扩展只需要往高位加0。

对于有符号的整数，扩展只需要往高位添加符号位的值。

比如有符号整数是[1011]，要扩展两位，就变成[111011]，加符号位1。

截断操作，其实跟mod取模操作有关。

对于无符号整数，截断位数，就是把高位直接干掉，它的值就是剩下位数的权重和。

对于有符号整数（即补码），同样是截断位数，然后把截断后数做U2T操作。

比如，4位的补码-1，位向量是[1111]，截断成3位，位向量就变成[111]，再转回补码，就是-1。

゛魚生